对于一个运算 $T$，如果对所有 $x$ 和 $y$ 都有：

$$T(x+y)=T(x)+T(y)$$

则运算 $T$ 具有可加性。这强调能够满足映射关系。 ^1

如果从集合和映射的角度考虑，则更加强调"封闭"这一特性，即加法结果的映射也在映射集合中。

示例

定积分的积分区间

设 $a \leq b \leq c$, 那么

$$\int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx$$

集函数的可加性

定义域为集类 $S$, 值域为 $[0, \infty]$ 上的广义实值集函数 $f$, 若:

1. 对于任意 $A, B \in S$, 有

$$f(A \cup B) = f(A) + f(B)$$

则称 $f$ 为可加的. 2. 对于任意 $A_i \in S$, $i=1\cdots n$, 有

$$f\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right) = \sum_{i=1}^{n}f(A_{i})$$

则称 $f$ 为有限可加的. 3. 对于任意 $A_i \in S$, $i=1\cdots \infty$, 有

$$f\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}\right) = \sum_{i=1}^{\infty}f(A_{i})$$

则称 $f$ 为可列可加的.

应用

可加性常用于描述具体的函数或变换，如积分、期望值等