二次方程的一般形式为:

$$ax^2 + bx + c = 0 ,(a \neq 0)$$

可以使用求根公式计算根

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

这个式子是完备的, 不论 $a,b,c$ 是实数还是复数, 解的公式是通用的, 能够覆盖所有可能的情况. 这种完备性是基于复数域的封闭性——即在复数域中，所有代数运算都有定义且结果仍然是复数。

步骤

1. 计算判别式:

$$\Delta=b^2 - 4ac$$

2. 根据判别式的值判断根的性质:

• 如果$\Delta > 0$, 方程有两个不相等的实数根.
• 如果 $\Delta = 0$, 方程有两个相等的实数根( 即一个重根) .
• 如果 $\Delta < 0$, 方程没有实数根, 但有两个共轭复根.
• 如果 $\Delta\in \mathbb{C}$, 方程有两个不共轭的复数根

3. 计算根:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

其中$\pm$表示方程有两个根, 分别对应 $+$ 和 $-$. 这个式子同样是完备的

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复系数的情况

对于实系数方程，出现共轭复根是因为实系数多项式方程的根必须满足复共轭性质，这保证了方程的所有系数仍然是实数。这意味着任何复根必须以 $(\alpha + \beta i)$ 和 $(\alpha - \beta i)$ 的形式出现，其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是实数.

但是当处理复系数的方程时，这种共轭性质不再适用，可能会得到两个不共轭的复根。 在方程： $ax^2+bx+c=0$ 中，如果 $a, b, c$ 是复数，则可能会得到形如 $(\gamma + \delta i)$ 和 $(\epsilon + \zeta i)$ 的根，其中 $\gamma, \delta, \epsilon, \zeta$ 都是实数