连续随机变量

本库在初等概率论中把“连续随机变量”用于绝对连续型随机变量：其分布函数可写为

$$F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt,$$

其中概率密度 $f\ge 0$ 且 $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1$。因此

$$P\{a\le X\le b\}=\int_a^b f(x)\,dx,$$

且对任意单点 $P\{X=x\}=0$。密度的支撑集不必是一个完整连续区间，也可以是不连通的；$f(x)$ 表示密度而非点概率。

其数字特征为期望 $E[X]=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\,dx$、方差 $Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2$、矩生成函数 $M_X(t)=E[e^{tX}]=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}f(x)\,dx$。

典型连续分布见正态分布。