分布函数

随机变量 $X$ 的分布函数定义为

$$F(x)=P\{X\le x\},\quad(-\infty<x<\infty)$$

它给出 $X$ 不超过 $x$ 的累计概率，完整描述随机变量的统计规律；若 $X$ 为连续随机变量，则 $F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt$。利用分布函数可计算区间概率

$$P\{x_1<X\le x_2\}=F(x_2)-F(x_1)$$

判定与端点

分布函数具有以下充要性质：单调不减、右连续，且 $\lim_{x\to-\infty}F(x)=0$、$\lim_{x\to+\infty}F(x)=1$。单点概率由跳跃给出：

$$P(X=a)=F(a)-F(a-),\qquad F(a-)=\lim_{x\uparrow a}F(x).$$

因此 $P(a\le X\le b)=F(b)-F(a-)$，不能对有点质量的分布把开闭端点随意互换。若 $X=0$ 几乎必然，则 $F(0)=1$、$F(0-)=0$，正好得到点概率 1。

分布函数连续只排除了点质量，并不保证存在概率密度；本库初等章节的 连续随机变量 特指绝对连续分布。