标准正态分布是正态分布的一种特殊形式，其均值为0，标准差为1。在统计学和概率论中，标准正态分布通常用 $Z$ 表示。以下是标准正态分布的详细介绍：

定义

标准正态分布是一个均值为0，标准差为1的正态分布，其概率密度函数（PDF）为：

$$f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}}$$

其中， $z$ 是标准化后的变量。

特性

1. 对称性：标准正态分布关于均值 $z = 0$ 对称。
2. 总面积：标准正态分布曲线下的总面积等于1。
3. 68-95-99.7 规则：在标准正态分布中，
   • 约68%的数据位于 $z = 0$ 的 ±1个标准差内（即在区间 [-1, 1] 内）。
   • 约95%的数据位于 $z = 0$ 的 ±2个标准差内（即在区间 [-2, 2] 内）。
   • 约99.7%的数据位于 $z = 0$ 的 ±3个标准差内（即在区间 [-3, 3] 内）。

标准化

将任意正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 的变量 $X$ 转换为标准正态分布 $Z$ 的过程称为标准化。标准化公式为：

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

其中，$\mu$ 是均值，$\sigma$ 是标准差。标准化后的变量 $Z$ 遵循标准正态分布 $N(0, 1)$。

累积分布函数（CDF）

标准正态分布的累积分布函数（CDF）表示随机变量 $Z$ 小于或等于某一值 $z$ 的概率，记为 $\Phi(z)$：

$$\Phi(z) = P(Z \leq z) = \int_{-\infty}^{z} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} \, dt$$

当z取无穷时, 这是高斯积分, 可以计算; 但当z不是无穷时, 这个积分没有解析解，通常使用数值方法或查表来计算。

Z表

标准正态分布表（Z表）列出了不同 $z$ 值对应的累积分布函数值 $\Phi(z)$。Z表通常用于计算各种概率，如：

• $P(Z \leq z)$
• $P(Z \geq z) = 1 - \Phi(z)$
• $P(a \leq Z \leq b) = \Phi(b) - \Phi(a)$

应用

标准正态分布在统计学中有广泛的应用，主要包括：

1. 假设检验：用于计算p值和确定临界值。
2. 置信区间：用于构建参数估计的置信区间。
3. 概率计算：用于计算在不同范围内数据的概率。

示例

假设我们有一个随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(100, 15^2)$。我们想知道 $X$ 小于115的概率。首先，我们将 $X$ 标准化：

$$Z = \frac{115 - 100}{15} = 1$$

然后查找标准正态分布表得到：

$$P(Z \leq 1) = \Phi(1) \approx 0.8413$$

因此，$P(X \leq 115) \approx 0.8413$，即约84.13%的概率 $X$ 小于115。

标准正态分布是理解和应用正态分布的重要基础工具，通过标准化，许多复杂的概率和统计问题都能得到简化和解决。