方差

方差度量随机变量取值相对均值的平均偏离程度，是二阶中心矩。

方差

$$Var[X]=E[(X-E[X])^2]=E[X^2]-(E[X])^2$$

离散型 $Var[X]=\sum_i (x_i-E[X])^2 p_i=\sum_i x_i^2 p_i-(E[X])^2$
连续型 $Var[X]=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2 f(x)\,dx=\int_{-\infty}^{\infty}x^2 f(x)\,dx-\mu^2$

推导：$E[(X-E[X])^2]=E[X^2-2E[X]X+(E[X])^2]=E[X^2]-2E[X]E[X]+(E[X])^2=E[X^2]-(E[X])^2$。

标准差是方差的算术平方根（见标准偏差）；协方差是方差的多变量推广 $Cov(X,X)=Var[X]$（见协方差）。