随机变量概述

我们希望引入一个法则, 使随机试验的结果可以用数来表示, 将随机试验的每个结果与实数对应起来, 这就是随机变量

定义

设概率空间为 $(S,\mathcal F,P)$。实值函数 $X:S\to\mathbb R$ 若满足对每个 $x\in\mathbb R$ 都有 $\{e:X(e)\le x\}\in\mathcal F$，则称为随机变量。这个可测性条件保证 $P(X\le x)$ 有定义。

按分布类型常讨论以下类别；这里不是按样本点到数值的函数是否连续来分类

• 离散随机变量
• 连续随机变量
• 其他随机变量

本库中随机变量一般用大写字母表示, 而小写字母表示实数
随机变量的取值随实验结果而定

Example

一个袋子中装有编号为1,2,3的球, 从袋中任取一只,放回, 再任取一只. 记录他们的号码. 样本空间$(i, j)\in S$来表示两次的取值结果, 则

$$X=X(i,j)=i+j,(i,j=1,2,3)$$

为定义在样本空间$S$上的函数

在有限样本空间且 $\mathcal F$ 包含所有子集时，任何实值函数都可测，因此球号求和的例子自动满足定义。若两次抽取独立且每个球等可能，则 $X$ 取 $2,3,4,5,6$ 的概率依次为 $1/9,2/9,3/9,2/9,1/9$；“放回”保持组成，还需模型中明确独立、等概率抽取。