泊松分布

泊松分布是描述稀有事件发生次数的离散分布，其分布律为

$$P\{X=k\}=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},\quad(k=0,1,2,\dots)$$

其中 $\lambda>0$ 是平均发生次数。实例：一页书的印刷错误数、某地区一天内邮寄遗失的信件数、某医院一天内急诊病人数、一个时间间隔内放射性物质射出的粒子数等。

泊松定理：设 $np_n=\lambda$（即 $p_n=\lambda/n$），则对任意固定的非负整数 $k$ 有

$$\lim_{n\to\infty}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p_n^k(1-p_n)^{n-k}=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$

即二项分布在 $n$ 很大、$p$ 很小时以泊松分布为极限。泊松分布也是泊松过程的到达计数分布。

数字特征为 $E[X]=\lambda$、$\operatorname{Var}(X)=\lambda$。例如由级数移项可得 $E[X(X-1)]=\lambda^2$，再用 $X^2=X(X-1)+X$ 求方差。实际计数能否采用泊松模型需另验；“稀有”不是充分条件。泊松过程 的平稳独立增量等假设说明了何时其区间计数具有这种分布。