差分方程基础

差分方程描述离散系统中相邻状态的变化规律：自变量只取整数时刻，用"差"代替"导数"。它是微分方程在离散时间上的对应物，需先掌握数列极限与等比数列。

• 定义：差分方程是包含自变量的离散函数关系式，描述相邻离散点之间的关系。
• 递推关系：差分方程是递推关系的推广，可以表达为：

  $$a_n = f(a_{n-1}, a_{n-2}, \dots, a_{n-k})$$

• 与微分方程的联系：
  • 微分方程描述连续系统，差分方程描述离散系统。
  • 微分方程：描述函数的变化率。
  • 差分方程：描述函数的变化量。
  • 当步长趋近于 0 时，差分方程可以收敛到微分方程。