向量场的曲面积分

一般形式

三维空间中，沿给定曲面对向量场进行积分，评估向量场的法向分量穿过曲面的流量。解决流量分布不均匀的流体在有向曲面上流过的体积. 这是最一般的表达形式，适用于任何形状的曲面和任意向量场

$$\oint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$$

• $\mathbf{F}$ 是向量场
• $d\mathbf{S}$ 是微元的法向量，一般会规定微元的正方向。

通过向量场$\mathbf{F}(u,v)$ 在微元${} \mathbf{dS}$ 处的法向量点乘结果进行积分. 为此需要先计算微元$\mathbf{dS}$ 处的法向量.

$$d\mathbf{S} = \left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right) du dv$$

根据不同坐标系, 微元有不同形式, 下面总结三维直角坐标系、柱面坐标系和球面坐标系下，曲面积分微元 $d\mathbf{S}$ 的不同形式

1. 三维直角坐标系

在三维直角坐标系下，曲面微元 $d\mathbf{S}$ 的计算基于曲面的参数化形式 $\mathbf{r}(x, y)$，其中 $x, y$ 是曲面的参数。

• 微元 $d\mathbf{S}$:

  $$d\mathbf{S} = \left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}\right) dx dy$$

  这里，$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}$ 是曲面在 $x$ 和 $y$ 方向的切向量，它们的叉积给出法向量的方向和大小。

2. 柱面坐标系

在柱面坐标系中，位置由 $r, \theta, z$ 描述。如果考虑一个侧面，其参数化形式可以是 $\mathbf{r}(\theta, z) = (r \cos \theta, r \sin \theta, z)$。

• 微元 $d\mathbf{S}$:

  $$d\mathbf{S} = \left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z}\right) d\theta dz = (r \cos \theta, r \sin \theta, 0) \, r d\theta dz$$

  这里 $r$ 是常数（对于一个特定的圆柱侧面），$d\theta dz$ 表示参数空间的面积元。

3. 球面坐标系

球面坐标系下，位置由 $r, \theta, \phi$ 描述。曲面 $\mathbf{r}(\theta, \phi) = (r \sin \phi \cos \theta, r \sin \phi \sin \theta, r \cos \phi)$ 通常用来描述球面。

• 微元 $d\mathbf{S}$:

  $$d\mathbf{S} = \left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \phi}\right) d\theta d\phi = (r \sin \phi \cos \theta, r \sin \phi \sin \theta, r \cos \phi) \, r^2 \sin \phi d\theta d\phi$$

  这里 $r$ 是球体的半径，$\sin \phi d\theta d\phi$ 表示参数空间的面积元。

计算

参数化形式

1. 选择合适的参数 $u, v$ 表示曲面 $S$: $\mathbf{r}(u, v)$。
2. 计算偏导数 $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}$ 和 $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}$，求得 $d\mathbf{S}$：

   $$d\mathbf{S} = \left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right) du dv$$

   上式中叉积结果的方向为曲面的法向方向，大小等于曲面面积元素。
3. 计算面积分：

   $$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint_T \mathbf{F}(\mathbf{r}(u, v)) \cdot \left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right) du dv$$

   其中 $T$ 为曲面参数 $(u, v)$ 的区域。

直角坐标分量形式

三维空间中, 向量场$F=(P,Q,R)$ (PQR分别是x,y,z三个直角坐标系方向的分量) 穿过有向曲面的流量$\Phi$ 表示为以下形式:

$$\Phi(x,y,z)=\iint P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy$$

分量形式是特别为直角坐标系定制的，为了简化特定情况下的积分计算, 不具有一般性. 这是同济教材给出的形式，仅适用于直角坐标系。此形式对应分量形式的曲面积分，计算时需注意每个分量的积分元素不同。

计算步骤

设曲面 $S$ 由参数方程 $\mathbf{r}(u, v)$ 给出，向量场为 $\mathbf{F}$。

1. 求切向量 $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}$ 和 $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}$。
2. 计算法向量 $\mathbf{n} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}$（注意方向）。
3. 代入向量场表达式，计算 $\mathbf{F}(\mathbf{r}(u, v))$。
4. 计算面积分，转化为二重积分：

   $$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint_T \mathbf{F} \cdot (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v) \, du \, dv$$

示例

令 $S$ 为圆柱 $x^2 + z^2 = 1$ 的侧面，$0 \le y \le 4$。向量场 $\mathbf{F} = x\,\mathbf{i} + 2y\,\mathbf{j} + 10z\,\mathbf{k}$。求

$$\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S},$$

其中法向量规定为"向外"，即横向指向圆柱外侧。

1. 参数化
   用 $\theta$ 表示绕圆柱的角度、$y$ 表示高度：

   $$\mathbf{r}(\theta, y) = (\cos\theta,\,y,\,\sin\theta), \quad 0 \le \theta \le 2\pi,\quad 0 \le y \le 4.$$

2. 求叉积

   $$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = (-\sin\theta,\,0,\,\cos\theta), \quad \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y} = (0,\,1,\,0).$$

   $$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta\\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (-\cos\theta)\,\mathbf{i} \;-\; \sin\theta\,\mathbf{k}.$$

   这就是 $d\mathbf{S}$ 的方向部分（未乘 $d\theta\,dy$）。若此方向正好是圆柱外侧，可直接用；若相反，则需取负号。

   在圆柱上，向外的法向量往往是 $(\cos\theta,\,0,\,\sin\theta)$。
   这里我们得到 $(-\cos\theta,\,0,\,-\sin\theta)$，它与外侧方向相差负号。
   因此若要求指向外侧，可以令

   $$d\mathbf{S} = \bigl(\cos\theta\,\mathbf{i} + \sin\theta\,\mathbf{k}\bigr)\,d\theta\,dy$$

   （即把上面结果乘以 $-1$）。
   或者你也可以保持现有结果，再在积分里多加个负号。关键是方向必须和外侧吻合。

3. 向量场在参数下的表达

   $$\mathbf{F}(\mathbf{r}(\theta,y)) = (\cos\theta)\,\mathbf{i} + 2y\,\mathbf{j} + 10(\sin\theta)\,\mathbf{k}.$$

4. 点乘并积分

   $$\mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \bigl(\cos\theta\,\mathbf{i} + 2y\,\mathbf{j} + 10\sin\theta\,\mathbf{k}\bigr) \cdot \bigl(\cos\theta\,\mathbf{i} + \sin\theta\,\mathbf{k}\bigr)\,d\theta\,dy.$$

   $$= \bigl(\cos^2\theta + 10\,\sin^2\theta \bigr)\,d\theta\,dy \quad (\text{此处 }2y\cdot0=0).$$

   积分域：$\theta \in[0,2\pi],\,y \in[0,4]$。
   因此

   $$\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \int_{0}^{4}\int_{0}^{2\pi} \bigl(\cos^2\theta + 10\,\sin^2\theta\bigr)\,d\theta\,dy.$$

   • $\int_0^{2\pi} \cos^2\theta\,d\theta = \pi$.
   • $\int_0^{2\pi} \sin^2\theta\,d\theta = \pi$.
     所以

   $$\int_{0}^{2\pi} \bigl(\cos^2\theta + 10\,\sin^2\theta\bigr)\,d\theta = \pi + 10\,\pi = 11\pi.$$

   再乘以 $\int_0^4 dy = 4$，

   $$\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = 4 \cdot 11\pi = 44\pi.$$

应用

• 散度定理（Gauss / Ostrogradsky）
  将封闭曲面上的通量（面积分）转化为该曲面所包围体积上的体积分

  $$\iint_{S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} \;=\; \iiint_{V} \nabla \cdot \mathbf{F}\, dV.$$

  在求封闭曲面的通量时非常实用。

• 曲线-曲面对偶（Stokes定理等）
  在更高阶讨论时，也会出现类似的线积分与面积分之间的对偶关系，但那主要用于旋度/环流等，超出本笔记范围。

• 各向量微分方程（流体力学、电磁学）
  在数学物理中，很多方程包含$\nabla\cdot\mathbf{F}$ 或 $\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}$ 等项，曲面积分公式是深入理解这些方程的重要工具。