高阶微分方程降阶

从这节开始将讨论二阶以上的微分方程.
如果高阶可以降阶到一阶,就可以用一阶微分方程的求解方法
以下是三个类型的容易降阶的高阶微分方程组

1. $y^{(n)}=f(x)$
2. $y''=f(x,y')$
3. $y''=f(y,y')$

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1. $y^{(n)}=f(x)$

这是一个已经分离变量的微分方程, 连续求积分 $n$ 次, 即可解得

$$y^{(n-1)}=\int f(x) \, dx+C_{1}$$

$$y^{(n-2)}=\int \Big[\int f(x) \, dx +C_{1} \Big] \, dx +C_{2}$$

$$...$$

每次积分引入一个独立常数，共有 $n$ 个积分常数。

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2. $y''=f(x,y')$

第一积分法

设 $y'=p$ , 则 $y''=p'$
带入原方程得

$$p'=f(x,p)$$

这是一个一阶微分方程, 参照对应解法, 设通解为$p=\phi(x,C_{1})$
但是$p=\frac{dy}{dx}$ ,带入后积分得解

$$y=\int \phi(x,C_{1}) \, dx+C_{2}$$

示例

Example

悬链线的推导

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3. $y''=f(y,y')$

同样可以使用第一积分法, 但原方程不显含 $x$, 需要改写为 $p$ 对 $y$ 的函数.
设$y'=\frac{dy}{dx}=p$ , 则

$$y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$$

这样原方程就变成 $p$ 关于 $y$ 的一阶微分方程

$$p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$$

设通解为

$$p=\phi(y,C_1)=y'=\frac{dy}{dx}$$

在 $y$ 可作为局部自变量、且 $\phi(y,C_1)\ne0$ 的区间上，分离变量并积分得

$$\int \frac{dy}{\phi(y,C_1)}=x+C_2$$

除以 $\phi$ 前需单独检查常值解 $y\equiv c$ 是否满足 $f(c,0)=0$；有转折点的解也可能需要分段使用 $p(y)$。

示例

$y''=y$

令 $y'=p$，在可作局部换元的区间有 $p\,dp=y\,dy$，故

$$(y')^2-y^2=2C.$$

开平方须保留 $y'=\pm\sqrt{y^2+2C}$，并区分 $C$ 的符号。当 $C>0$ 时，积分涉及反双曲正弦，可得两支 $y=\pm\sqrt{2C}\sinh(x+D)$；这只覆盖部分解。

用特征方程 $r^2-1=0$ 可统一写出全部实解：

$$y=Ae^x+Be^{-x},\qquad A,B\in\mathbb R.$$

代回有 $y''=y$，且 $(y')^2-y^2=-4AB$。它同时覆盖 $C>0$、$C=0$、$C<0$，包含 $y=e^{-x}$、$y=\cosh x$ 和 $y=0$。初值 $y(x_0),y'(x_0)$ 唯一确定 $A,B$。