方向场

一阶微分方程 $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ 在平面上每个点 $(x,y)$ 处给出一个斜率 $f(x,y)$；把各点处代表该斜率的小线段画出来，就得到方向场（斜率场）。它把「求通解」几何化为「找处处与这些方向相切的曲线」，这些曲线就是积分曲线。

当 $f$ 只依赖某个几何不变量（如 $\frac yx$ 或 $\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}$）时，方向场具有相应对称性，这正是齐次方程与可化为齐次的方程作降维代换的几何来源。