欧拉方程

变系数的线性微分方程，一般说来都是不容易求解的。但是有些特殊的变系数线性微分方程，则可以通过变量代换化为常系数线性微分方程，因而容易求解，欧拉方程就是其中的一种

欧拉方程

$$x^{n}y^{(n)}+p_{1}x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}xy'+p_{n}y=f(x)$$

对数代换把乘法缩放 $x\mapsto e^sx$ 变为平移 $t\mapsto t+s$，相应生成算子 $x\,d/dx$ 变为 $d/dt$。这解释了为何 $x$ 的幂次系数在新变量中成为常系数，也提供了与缩放群的联系。
其中 $p_1,\ldots,p_n$ 为常数，最高阶系数在 $x=0$ 退化，因此先在不跨零的区间求解。

求解

欧拉方程的一个显著特点是其系数是 $x$ 的幂次函数。因此，我们可以通过以下变量替换将其化为常系数微分方程：
设 $t = \ln x$，则 $x = e^{t}$，并令 $z(t) = y(e^t)$。
利用链式法则：

$$\frac{d}{dx} = \frac{dt}{dx}\frac{d}{dt} = \frac{1}{x}\frac{d}{dt}$$

记微分算子 $D = \dfrac{d}{dt}$，则 $x\dfrac{dy}{dx} = Dz$。
更高阶导数同理：

$$x^n \frac{d^n y}{dx^n} = D(D-1)\cdots(D-n+1)z$$

例如 $x\dfrac{dy}{dx}=z'$，$x^2\dfrac{d^2y}{dx^2}=z''-z'$。

替换并简化方程

将 $t = \ln x$ 代入原方程，并利用上述导数关系 $x^n y^{(n)} = D(D-1)\cdots(D-n+1)z$，欧拉方程可以重写为一个常系数的微分方程。
设 $z(t) = y(e^t)$，则 $z(t)$ 满足的方程形式为：

$$D(D-1)\cdots(D-n+1)z+p_{1}D(D-1)\cdots(D-n+2)z+\cdots+p_{n-1}Dz+p_{n}z = f(e^t)$$

这时，我们得到一个常系数线性微分方程。

求解常系数线性微分方程

齐次方程的求解

对于齐次方程

$$D(D-1)\cdots(D-n+1)z+p_{1}D(D-1)\cdots(D-n+2)z+\cdots+p_{n-1}Dz+p_{n}z = 0$$

我们可以假设解的形式为 $z = e^{rt}$，代入得到特征方程：

$$r(r-1)\cdots(r-n+1)+p_{1}r(r-1)\cdots(r-n+2)+\cdots+p_{n-1}r+p_{n}=0$$

特征根给出指数基本解；重根还需 $t^je^{rt}$，然后换回 $x$。

非齐次方程的求解

非齐次方程

$$D(D-1)\cdots(D-n+1)z+p_{1}D(D-1)\cdots(D-n+2)z+\cdots+p_{n-1}Dz+p_{n}z = f(e^t)$$

可以通过待定系数法或变分参数法求解。

回到原变量

求解 $z(t)$ 之后，通过 $z(t) = y(e^t)$，将解转换回原变量 $x$，即 $y(x) = z(\ln x)$。

示例

考虑具体方程：

$$x^2 y'' + 3x y' + y = 0$$

1. 变数替换：$t = \ln x$，$y(x) = z(t)$
2. 导数变换：$y' = \frac{1}{x} z'$, $y'' = \frac{1}{x^2} (z'' - z')$
3. 方程变为：

   $$(e^{2t}) \frac{1}{e^{2t}} (z'' - z') + 3e^t \frac{1}{e^t} z' + z = z'' + 2z' + z = 0$$

4. 解齐次方程：假设 $z = e^{rt}$

   $$r^2 + 2r + 1 = 0 \implies (r + 1)^2 = 0 \implies r = -1$$

   所以齐次解为 $z(t) = (c_1 + c_2 t) e^{-t}$
5. 回到原变量：

   $$y(x) = (c_1 + c_2 \ln x) \frac{1}{x}$$

在 $x<0$ 上令 $t=\ln|x|$、$x=-e^t$，仍有 $x\,d/dx=D$，但右端变为 $f(-e^t)$。本例在任一不跨零的区间上可写为 $y=(C_1+C_2\ln|x|)/x$。常数分别独立，能否延拓过零须代回原方程另查。