朗斯基行列式

朗斯基行列式（Wronskian determinant）用来判断一组函数是否线性相关，在线性微分方程解的结构中非常有用。

定义

给定区间 $I$ 上 $n$ 个至少具有 $n-1$ 阶导数的函数$y_1(x), y_2(x), \dots, y_n(x)$，其朗斯基行列式$W(y_1, y_2, \dots, y_n)$定义为：

$$W(y_1, y_2, \dots, y_n)(x) = \det \begin{bmatrix} y_1(x) & y_2(x) & \cdots & y_n(x) \\ y_1'(x) & y_2'(x) & \cdots & y_n'(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_1^{(n-1)}(x) & y_2^{(n-1)}(x) & \cdots & y_n^{(n-1)}(x) \end{bmatrix},$$

其中 $y_i^{(k)}(x)$表示函数$y_i(x)$的第$k$次导数。

性质

1. 若存在 $x_0\in I$ 使 $W(x_0)\ne0$，则这些函数在 $I$ 上线性无关。因为任何恒等线性关系及其前 $n-1$ 阶导数，在 $x_0$ 处组成可逆的齐次线性方程组，其系数只能全为零。
2. 线性相关必有 $W\equiv0$，但对任意函数，逆命题不成立。
3. 若这些函数都是同一个 $n$ 阶齐次线性方程 $y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_0(x)y=0$ 的解，且各系数在区间 $I$ 连续，则由初值问题唯一性，$W(x_0)=0$ 会推出线性相关。此时 $W$ 要么处处非零，要么恒为零，可用于判定基本解组。

应用

• 验证解的独立性
• 证明解的存在性和唯一性。

不能去掉的方程条件

在 $I=(-1,1)$ 上取 $y_1(x)=x^2$、$y_2(x)=x|x|$，二者均为 $C^1$，且 $W\equiv0$。但若 $c_1y_1+c_2y_2\equiv0$，在正半轴有 $c_1+c_2=0$，负半轴有 $c_1-c_2=0$，从而 $c_1=c_2=0$，它们仍线性无关。故不能把微分方程解组的判据直接用于任意函数组。