伯努利方程

CyletixGPT-4GPT-6

简介

伯努利方程是一阶非线性微分方程, 其标准形式为:

y'+P(x)y=Q(x)y^n

可以通过变量代换将其转化为一阶线性微分方程来求解.

求解

1. 标准化方程

如果不是标准形式, 先将伯努利方程重写为标准形式:

y' + P(x)y = Q(x)y^n

2. 变量代换

进行变量代换 $z = y^{1-n}$ , 则有

y = z^{\frac{1}{1-n}}

\frac{dz}{dx} = (1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}

3. 化为线性方程

将原方程两边乘以 $(1-n)y^{-n}$ ：

(1-n)y^{-n}y' + (1-n)P(x)y^{1-n} = (1-n)Q(x)

代入 $z = y^{1-n}$ 与 $z' = (1-n)y^{-n}y'$ ，得到关于 $z$ 的一阶线性微分方程：

\frac{dz}{dx} + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)

4. 求解线性方程

对这一阶线性微分方程使用标准方法求解. 先找到积分因子 $\mu(x)$ :

\mu(x) = e^{\int (1-n)P(x)\,dx}

5. 求出 $z$ 的解

将积分因子 $\mu(x)$ 乘到方程两侧:

\mu(x)\frac{dz}{dx} + \mu(x)(1-n)P(x)z = \mu(x)(1-n)Q(x)

左侧可化为:

\frac{d}{dx} \left[ \mu(x)z \right] = \mu(x)(1-n)Q(x)

对两边积分:

\mu(x)z = \int \mu(x)(1-n)Q(x)\,dx + C

所以:

z = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x)(1-n)Q(x)\,dx + C \right)

6. 还原 $y$ 的解

通过变量代换 $z = y^{1-n}$ , 得到 $y$ 的解:

y = \left( \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x)(1-n)Q(x)\,dx + C \right) \right)^{\frac{1}{1-n}}

示例

考虑方程:

y' + y = xy^2

令 $z = y^{1-2} = y^{-1}$ , 即 $y = \frac{1}{z}$ , 并求导数 $y' = -\frac{1}{z^2}z'$ .

代入方程:

-\frac{1}{z^2}z' + \frac{1}{z} = x \left( \frac{1}{z} \right)^2

-\frac{1}{z^2}z' + \frac{1}{z} = \frac{x}{z^2}

化简为线性方程:

-z' + z = x

这是一阶线性方程, 求积分因子:

\mu(x) = e^{\int -dx} = e^{-x}

则

e^{-x}z' - e^{-x}z = -xe^{-x}

积分, 左侧变为:

\frac{d}{dx} \left[ e^{-x}z \right] = -xe^{-x}

对两边积分:

e^{-x}z = \int -xe^{-x} dx

分部积分:

\int -xe^{-x} dx = xe^{-x} + e^{-x} + C

所以:

e^{-x}z = xe^{-x} + e^{-x} + C

z = x + 1 + Ce^{x}

还原 $y$ 的解

y = \frac{1}{z} = \frac{1}{x + 1 + Ce^{x}}

代换的适用范围

设 $P,Q$ 连续； $n=0$ 本来就是非齐次线性方程， $n=1$ 是 $y'+(P-Q)y=0$ ，均单独处理。以上非线性代换用于 $n\notin\{0,1\}$ ，并在 $y\ne0$ 且实幂有定义、可微的分支上进行。 $y=z^{1/(1-n)}$ 需按原分支还原，不能默认覆盖所有实解。