一阶线性微分方程通解

一阶线性微分方程 $y'+P(x)y=Q(x)$ 的通解公式：

$$y=Ce^{ -\int P(x) \, dx }+e^{ -\int P(x) \, dx }\int Q(x)e^{ \int P(x) \, dx } \, dx$$

在同一区间 $I$ 上设 $P,Q$ 连续。固定 $x_0\in I$，令 $A(x)=\int_{x_0}^xP(t)\,dt$，初值 $y(x_0)=y_0$ 唯一确定

$$y(x)=e^{-A(x)}\left[y_0+\int_{x_0}^xe^{A(t)}Q(t)\,dt\right].$$

由 $(e^Ay)'=e^AQ$ 可直接验证。齐次情形分离变量时除过 $y$，须把 $y\equiv0$ 包括在常数 $C=0$ 的情形中。