变分问题的首次积分

Euler-Lagrange方程通常是二阶微分方程。积分函数不显含某个变量时，可以先得到一个守恒量，将求解降为一阶关系。

设

$$J[y]=\int_a^b L(x,y,y')\,dx,$$

其中 $L\in C^2$，$y\in C^2([a,b])$ 满足 Euler–Lagrange 方程。记 $p$ 为 $L$ 的第三个自变量，各偏导沿 $(x,y,y')$ 取值。

不显含未知函数

若 $L_y=0$，Euler–Lagrange 方程立即给出

$$\frac d{dx}L_p=0,\qquad L_p=C.$$

$L_p$ 常称为与 $y$ 对应的广义动量。这里“不显含 $y$”允许 $L$ 仍然依赖 $x$ 和 $y'$。

不显含自变量

由链式法则，

$$\frac d{dx}(L-y'L_p) =L_x+y'\left(L_y-\frac d{dx}L_p\right).$$

因此当 $L_x=0$ 时，沿驻值函数有 Beltrami 恒等式

$$\boxed{L-y'L_p=C.}$$

它把原来的二阶驻值方程积分一次。在力学中，以时间为自变量时，$y'L_p-L$ 是常见的能量形式，与上式只差一个负号。

首次积分由驻值方程推出；反过来仅有该恒等式时，上面的求导只能得到

$$y'\left(L_y-\frac d{dx}L_p\right)=0.$$

在 $y'=0$ 的点不能直接除以 $y'$，因此求出的候选分支仍应代回原驻值方程，并满足原边界条件。首次积分中的常数也须结合边界或积分约束确定。