变分法基本引理

变分法基本引理

设 $a<b$，$g\in C([a,b])$。若对每个 $\eta\in C_c^\infty((a,b))$ 都有

$$\int_a^b g(x)\eta(x)\,dx=0,$$

则 $g(x)=0$ 对所有 $x\in[a,b]$ 成立。

$C_c^\infty((a,b))$ 表示在 $(a,b)$ 内光滑且支集紧含于该区间的函数；它们在两个端点附近恒为零。

证明

反设存在 $x_0\in(a,b)$ 使 $g(x_0)>0$。由连续性，可以选取

$$a<c<x_0<d<b$$

及常数 $m>0$，使得 $g(x)\ge m$ 对所有 $x\in[c,d]$ 成立。

取一个非负、不恒为零、支集包含于 $[c,d]$ 的光滑函数。例如

$$\eta(x)= \begin{cases} \exp\!\left(-\dfrac{1}{(x-c)(d-x)}\right),&c<x<d,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}$$

该函数在 $c,d$ 两侧光滑拼接，属于 $C_c^\infty((a,b))$，于是

$$\int_a^b g(x)\eta(x)\,dx \ge m\int_c^d\eta(x)\,dx>0,$$

与假设矛盾。若 $g(x_0)<0$，对 $-g$ 使用同一论证。因此 $g$ 在 $(a,b)$ 恒为零，再由连续性得到两个端点处也为零。

在驻值条件中的作用

引理的关键是积分等式对所有局部测试函数成立。这允许把扰动集中到任意一个小区间，排除被积函数局部为正或为负的可能。仅知道一个积分等于零，不能排除不同区间的正负抵消。

例如在固定端点问题中，第一变分为

$$\delta J[y;\eta] =\int_a^b(L_y\eta+L_{y'}\eta')\,dx.$$

若 $L\in C^2$、$y\in C^2([a,b])$，对第二项分部积分，并利用 $\eta(a)=\eta(b)=0$，得到

$$\delta J[y;\eta] =\int_a^b\left(L_y-\frac{d}{dx}L_{y'}\right)\eta\,dx.$$

驻值条件对全部容许方向成立，当然也对其中的光滑紧支集方向成立。括号中的函数连续，因此基本引理给出

$$L_y-\frac{d}{dx}L_{y'}=0,$$

即Euler-Lagrange方程。这里额外写出的光滑性条件保证经典导数和逐点方程有意义；不能在缺少这些条件时直接照搬这一推导。