有限维极值与变分法

多元函数的驻点、Taylor 展开、Hessian 与二次型判别构成变分法的入门。它们训练的是同一种方法：选取允许的扰动，比较目标量在扰动前后的变化。已有计算基础可参考多元函数极值、梯度、海塞矩阵与正定二次型。

有限维的扰动展开

设 $f$ 在内点 $z_*\in\mathbb R^n$ 的邻域内属于 $C^2$。当 $h\to0$ 时，

$$f(z_*+h)=f(z_*)+\nabla f(z_*)^\mathsf T h +\frac12h^\mathsf T H_f(z_*)h+o(\|h\|^2).$$

内部局部极小的必要条件为

$$\nabla f(z_*)=0,\qquad h^\mathsf T H_f(z_*)h\ge0 \quad\text{对所有 }h.$$

若驻点处 $H_f(z_*)$ 正定，则得到严格局部极小；若半正定，二阶信息一般不足。三元及更高维问题需要判断整个二次型，不能只凭 Hessian 行列式的正负分类。

工程设计中的材料最少、表面积最小等问题，通常先把尺寸与约束写成函数关系。若能用约束消去一个变量，应同时记录剩余变量的定义域；内部驻点计算完成后，仍需检查边界、退化情况与全局比较。

把向量方向换成函数方向

对泛函

$$J[y]=\int_a^b L(x,y,y')\,dx,$$

选择容许方向 $\eta$，令 $y_\varepsilon=y+\varepsilon\eta$。若 $\varepsilon\mapsto J[y+\varepsilon\eta]$ 在零点邻域内二阶连续可微，就有沿固定方向的展开

$$J[y+\varepsilon\eta] =J[y]+\varepsilon\delta J[y;\eta] +\frac{\varepsilon^2}{2}\delta^2J[y](\eta,\eta) +o(\varepsilon^2).$$

有限维极值	变分法
未知向量 $z$	未知函数 $y$
向量扰动 $h$	容许函数方向 $\eta$
$Df(z)[h]=\nabla f(z)^\mathsf T h$	第一变分 $\delta J[y;\eta]$
Hessian 二次型 $h^\mathsf T H_f(z)h$	第二变分 $\delta^2J[y](\eta,\eta)$
一阶项对所有方向为零	第一变分对所有容许方向为零

固定端点要求 $\eta(a)=\eta(b)=0$。积分约束还会限制扰动方向，具体见等周约束变分问题。

二阶判别需要补上的条件

有限维中，正定矩阵在单位球面上具有严格正的最小值，所以其二次项能统一压过 Taylor 余项。无限维中的“每个非零方向都为正”不自动给出这样的统一下界；使用第二变分的充分条件时，必须同时明确范数、统一正下界及余项估计。

从这里进入第一变分与Euler-Lagrange方程，有限维极值的计算方法便成为变分法的学习起点。