辛几何与哈密顿力学

经典力学的几何化：相空间是带有非退化闭 2-形式的辛流形，哈密顿方程由辛形式与哈密顿函数唯一确定。它研究"演化保持相空间结构"的数学。

需先掌握微分形式与向量场与流；流形基础见微分流形。

定义

辛流形 $(M,\omega)$：$\omega$ 为非退化闭 2-形式（$\mathrm{d}\omega=0$）。Darboux 定理保证局部存在坐标使

$$\omega=\sum_i\mathrm{d}p_i\wedge\mathrm{d}q^i$$

哈密顿方程

对函数 $H$，辛形式定义哈密顿向量场 $X_H$（$\iota_{X_H}\omega=-\mathrm{d}H$），其流满足

$$\dot q^i=\frac{\partial H}{\partial p_i},\qquad \dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial q^i}$$

性质

• Liouville 定理：哈密顿流保持相空间体积（$\mathcal{L}_{X_H}\omega=0$）
• Poisson 括号 $\{f,g\}=\omega(X_f,X_g)$ 使光滑函数构成李代数
• 与黎曼几何不同，辛流形没有长度概念，只有面积类结构

应用

辛几何是哈密顿力学与几何量子化的语言；辛拓扑（Gromov 伪全纯曲线、Floer 同调）用于证明 Arnold 猜想等刚性结果，并与调和映射（辛流形间的能量极值）交汇。