点态收敛

函数序列$\{f_n(x)\}$在集合D上点态收敛到函数$f(x)$，如果对于$D$中每个$x$，序列中的函数值$f_n(x)$随$n$增大趋向于$f(x)$。

其量词顺序是 $\forall x\in D,\ \forall\varepsilon>0,\ \exists N=N(x,\varepsilon),\ n\ge N\Rightarrow|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$。一致收敛性要求同一个 $N$ 对所有 $x$ 有效。

同一个函数列的逐点判断

对 $f_n(x)=x^n$，在 $D=[0,1]$ 上先固定 $x$：若 $0\le x<1$，几何数列 $x^n\to0$；若 $x=1$，则 $f_n(1)=1$。所以点态极限为

$$f(x)=\begin{cases}0,&0\le x<1,\\1,&x=1.\end{cases}$$

固定 $0<x<1$ 且 $0<\varepsilon<1$，取整数 $N>\ln\varepsilon/\ln x$ 即能保证 $n\ge N$ 时 $x^n<\varepsilon$。这里分母为负，解不等式时方向要反转；$x$ 越接近 $1$，所需阈值越大。

将定义域缩到 $[0,r]$（固定 $0\le r<1$），误差受同一个 $r^n$ 控制，便能选与 $x$ 无关的 $N$。完整的上确界计算与反例路径见连续与收敛的量词辨析。每个 $f_n$ 自己连续，不保证它们的点态极限连续。