导数

简介

导数是微积分学的核心概念之一，描述了函数在某一点的瞬时变化率。通过导数，可以研究函数的动态变化趋势，如函数的单调性、极值等。

定义

导数的定义包含两个层面：一个是在特定点的数值，另一个是描述整体变化趋势的函数。

“导数”的两种含义

由于习惯用法上的“语义污染”，“导数”一词在日常讨论中常常混用，它既可以指在一点的导数（数值），也可以指导函数（函数）。

概念	$\lim_{ x \to x_{0} } \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$	$f'(x)$
准确描述	函数在 $x_0$ 点的导数	导函数
通俗说法	导数	导数

在严谨的语境下，需要明确区分两者。

导函数 (The Derivative Function)

如果函数 $f(x)$ 在其定义域的某个区间 $I$ 内每一点都可导，那么对于区间 $I$ 内的每一个 $x$，都对应一个确定的导数值 $f'(x)$。这样，我们便得到了一个新的函数，称之为原函数 $f(x)$ 的导函数，记作 $f'(x)$ 或 $y'$。

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

导函数是一个函数，它反映了原函数在每一点的变化率。

在一点的导数 (Derivative at a Point)

函数 $y=f(x)$ 在其定义域内一点 $x_0$ 的导数，指的是函数值在该点附近的变化率。它被定义为以下极限（如果该极限存在）：

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

这个定义也可以等价地写为：

$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$

在一点的导数是一个具体的数值，代表该点切线的斜率。

可导性与单侧导数

可导性 (Differentiability)

如果“在一点的导数”的极限存在且有限，则称函数 $f(x)$ 在该点可导。

单侧导数 (One-sided Derivatives)

根据极限的定义，我们可以分别定义左极限和右极限，从而得到左导数和右导数：

• 左导数: $\displaystyle f'_{-}(x_0) = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$
• 右导数: $\displaystyle f'_{+}(x_0) = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可导的充分必要条件是：其在该点的左、右导数均存在且相等，即 $f'_{-}(x_0) = f'_{+}(x_0)$。

关于可导与连续的深入讨论，请见 可导与连续的关系。

性质

几何意义

在二维平面坐标系中，导数的几何意义为函数图像在该点切线的斜率。

• 在一点的导数 $f'(x_0)$ 是函数曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处切线的斜率。
• 导函数 $f'(x)$ 描述了曲线上每一点切线斜率的变化情况。

物理意义

导数是描述瞬时变化率的数学工具。例如：

• 瞬时速度是位移对时间的导数。
• 瞬时加速度是速度对时间的导数。
• 瞬时电流是电荷量对时间的导数。

常用记法

表示导数有多种不同的记法，常见的有：

• 拉格朗日记法: $f'(x)$, $y'$
• 莱布尼茨记法: $\frac{dy}{dx}$, $\frac{df(x)}{dx}$ (强调了是哪个变量对哪个变量求导)
• 牛顿记法: $\dot{y}$ (常见于物理学，特指对时间求导)

示例

求函数 $f(x) = x^2$ 的导函数。

根据定义：

$$\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} (2x + h) \\ &= 2x \end{align*}$$

所以，$f(x) = x^2$ 的导函数是 $f'(x) = 2x$。