两个随机变量的函数分布

研究二维随机变量 $(X,Y)$ 经由函数 $Z = g(X,Y)$ 映射后得到的新随机变量的分布。

常用分布的求解方法

1. 分布函数法（一般方法）

当 $(X,Y)$ 有联合密度时，先求 $Z$ 的分布函数

$$F_Z(z) = P\{Z \le z\} = \iint_{g(x,y) \le z} f(x,y) \, dx dy$$

只有 $Z$ 的分布绝对连续时，才可由 $f_Z(z)=F_Z'(z)$（几乎处处）恢复全部分布；例如 $g\equiv0$ 会产生点质量。

2. 和的分布

当 $X, Y$ 独立且概率密度分别为 $f_X, f_Y$ 时

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \, dx$$

称为卷积公式。若 $X, Y$ 均服从正态分布，则 $X+Y$ 仍服从正态分布（可加性）。

3. 商的分布

以下明确取 $Z=Y/X$，假设 $X,Y$ 独立且各有密度，故 $P(X=0)=0$：

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} |x| \, f_X(x) f_Y(zx) \, dx$$

4. 最大值与最小值分布

设 $X_1, \dots, X_n$ 独立同分布，分布函数为 $F$，则

$$F_{\max}(z) = [F(z)]^n, \qquad F_{\min}(z) = 1 - [1-F(z)]^n$$

典型结论

• 正态分布可加性：$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$ 独立，则 $aX + bY \sim N(a\mu_1 + b\mu_2, a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2)$
• 卡方分布可加性：独立的卡方分布变量有 $\chi^2(n_1) + \chi^2(n_2) \sim \chi^2(n_1+n_2)$
• 当 $X, Y$ 独立时，一般可通过卷积或随机变量的函数中的变换法处理。

从雅可比推导商分布

令 $U=X$、$Z=Y/X$，逆变换为 $x=u,y=uz$，其雅可比行列式为 $u$。由 二重积分换元法，联合密度为 $f_{U,Z}(u,z)=|u|f_{X,Y}(u,uz)$，再对 $u$ 积分。独立时才可写成上面的 $f_X(u)f_Y(uz)$；若要 $Z=X/Y$，应改用 $\int|y|f_{X,Y}(zy,y)\,dy$。

例如 $X,Y$ 独立且都为 $U(0,1)$，合法区域为 $0<u<1$、$0<zu<1$，所以

$$f_{Y/X}(z)=\begin{cases}0,&z\le0,\\1/2,&0<z\le1,\\1/(2z^2),&z>1.\end{cases}$$

两段积分各为 $1/2$。这一支撑约束与雅可比因子同样不可省略。