二重积分换元法

二重积分换元的核心逻辑只有两条：简化积分区域（化曲为直、把边界变成常数限）与解耦被积表达式（消除交叉项、便于逐次积分）。下面按「换元公式 → 四大模型 → 构造方法」展开。

换元公式

设 $x=x(u,v)$、$y=y(u,v)$ 是区域 $D\to D'$ 的一一可微映射，则

$$\iint_D f(x,y)\,dx\,dy=\iint_{D'} f\big(x(u,v),\,y(u,v)\big)\,|J|\,du\,dv$$

其中 $J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}$ 是雅可比行列式。

反向换元的雅可比

若先设出 $u=u(x,y)$、$v=v(x,y)$，则先算 $\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$ 再取倒数：

$$|J|=\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\left|\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\right|^{-1}$$

四大系统模型

类型	识别特征	标准换元	雅可比 $\vert J\vert$
曲线网格型	边界由两族曲线 $c_1\le f(x,y)\le c_2$、$d_1\le g(x,y)\le d_2$ 围成	$u=f(x,y),\ v=g(x,y)$	$\left\vert\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\right\vert^{-1}$
广义极坐标型	椭圆边界 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1$	$x=ar\cos\theta,\ y=br\sin\theta$	$abr$
倾斜二次型	含交叉项 $Ax^2+Bxy+Cy^2\le 1$	配方法消交叉项后接极坐标	线性变换行列式的倒数 $\times r$
和差对称型	边界或函数含 $x+y$、$x-y$	$u=x+y,\ v=x-y$	$\frac12$

边界等值线法

适用：曲线网格型。只要区域由 $f(x,y)=\text{常数}$ 与 $g(x,y)=\text{常数}$ 两族曲线围成，直接令 $u=f(x,y)$、$v=g(x,y)$，区域在 $(u,v)$ 平面必化为矩形 $[c_1,c_2]\times[d_1,d_2]$。

常见变体：

• 抛物线网格：$y^2=ax,\ y^2=bx,\ x^2=cy,\ x^2=dy \implies u=\frac{y^2}{x},\ v=\frac{x^2}{y}$
• 双曲网格：$xy=a,\ xy=b,\ y=mx,\ y=nx \implies u=xy,\ v=\frac{y}{x}$

配方与正交变换法

适用：倾斜二次型。含 $xy$ 交叉项的区域本质是旋转了的椭圆。

以 $x^2+xy+y^2\le 1$ 为例：

1. 配方：$x^2+xy+y^2=\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}y\right)^2$
2. 设第一重线性变换 $u=x+\frac{y}{2},\ v=\frac{\sqrt{3}}{2}y$，区域化为单位圆盘 $u^2+v^2\le 1$
3. 设第二重极坐标 $u=r\cos\theta,\ v=r\sin\theta$
4. 复合雅可比：线性变换的行列式为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，故 $|J|=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{-1}\cdot r=\frac{2}{\sqrt{3}}r$

换元选择判定

1. 看区域边界：边界能否整理成两两成对的表达式常数区间？
   • 能 $\implies$ 直接提取表达式设为 $u,v$（边界驱动换元，即上文的「边界等值线法」）。
2. 看二次项结构：是否有平方和、椭圆或含 $xy$ 的正定二次型？
   • 标准圆/椭圆 $\implies$ 极坐标 / 广义极坐标。
   • 倾斜椭圆 $\implies$ 配方法化为标准圆后接极坐标（见上文「配方与正交变换法」）。
3. 看表达式对称性：是否出现 $x+y$ 与 $x-y$ 或分子分母结构互相对称？
   • 是 $\implies$ 旋转 $45^\circ$ 换元：$u=x+y,\ v=x-y$。