随机变量的函数

若 $X$ 是随机变量、$g$ 是 Borel 可测函数（例如连续函数），则 $g(X)$ 仍为随机变量，称为随机变量的函数，其分布由 $X$ 的分布与 $g$ 共同决定。例如 $X\sim N(0,1)$ 时 $g(X)=X^2$ 服从自由度为 1 的卡方分布。求 $g(X)$ 的分布一般需要变量变换与积分，多变量情形 $Z=g(X,Y)$ 见两个随机变量的函数分布。

分布函数与变量变换

一般先求 $F_Y(y)=P(g(X)\le y)$；这一步不要求密度存在。若 $X$ 有密度、$g$ 在支撑区间上连续可微且严格单调、$g'\ne0$，则在像区间内

$$f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\left|\frac{d}{dy}g^{-1}(y)\right|,$$

像区间外密度为零。分段单调时，对所有合法逆分支相加。这是 积分换元 在一维概率密度上的应用；绝对值保证概率质量为正。

例如 $X\sim U(-1,1)$、$Y=X^2$，在 $0<y<1$ 有两个原像 $\pm\sqrt y$，故

$$f_Y(y)=\frac12\frac1{2\sqrt y}+\frac12\frac1{2\sqrt y}=\frac1{2\sqrt y}.$$

其积分 $\int_0^1(2\sqrt y)^{-1}\,dy=1$。漏掉负分支会丢失一半概率。若 $g$ 恒为常数，则结果为 退化分布，不能对分布函数求导后把零函数当作完整密度。