函数项级数

简介

相比泰勒级数, 函数项级数是更广义的概念

定义

函数项级数是由函数组成的级数，将一列函数 $f_0(x), f_1(x), \ldots$ 相加，得到的表达式称为函数项级数。其一般形式为：

$$\sum_{n=0}^\infty f_n(x)$$

各项不必是多项式，收敛的和函数也不必解析。选择幂函数、三角函数或其他函数族构造展开时，需分别验证其收敛方式与运算条件。

性质

• 收敛性：函数项级数在某点 $x$ 上收敛的条件是部分和：

$$S_N(x) = \sum_{n=0}^N f_n(x)$$

在 $N \to \infty$ 时收敛到有限值。

• 一致收敛：指部分和 $S_N$ 一致收敛。有限闭区间上，各项黎曼可积且部分和一致收敛，可以逐项积分；逐项微分还需导数级数一致收敛和某点原级数收敛等条件，见一致收敛性。

与泰勒公式的区别

相比泰勒级数, 函数项级数是更广义的概念

泰勒级数

• 泰勒公式只能在某点邻域内逼近函数，通常无法保证全局一致性.
• 泰勒级数是一个特殊的函数项级数,它是围绕某点x₀将函数展开成幂级数的形式.
• 泰勒级数的收敛域取决于函数的解析性, 系数完全由展开点的局部信息(各阶导数)决定

函数项级数

• 函数项级数通常可以通过选择合适的形式在全局逼近原函数。虽然某些特殊的函数项级数确实可以在更大的区间上逼近函数, 但这并不意味着任意函数都能找到一个在全局收敛的函数项级数展开