函数极限

ε-δ定义

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的去心邻域 $U^\circ(x_0,\delta)$ 有定义：

$$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A \iff \forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\ 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon$$

自变量趋于无穷

设 $f(x)$ 在 $|x|>M$ 时有定义：

$$\lim\limits_{|x|\to\infty}f(x)=A \iff \forall \varepsilon>0,\ \exists X>0,\ |x|>X \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon$$

这里 $|x|\to\infty$ 同时要求正负两个方向趋于同一个 $A$。若只讨论 $x\to+\infty$，条件改为 $x>X$；若讨论 $x\to-\infty$，条件改为 $x<-X$。例如 $\arctan x$ 的正负无穷极限分别是 $\pi/2$、$-\pi/2$，因此没有双向无穷处的统一有限极限。

相对定义域与单侧极限

更一般地，设 $f:D\to\mathbb R$，$a$ 是 $D$ 的聚点，即任意 $\delta>0$ 都存在 $x\in D$ 满足 $0<|x-a|<\delta$。相对 $D$ 的极限只量化 $x\in D$：

$$\lim_{\substack{x\to a\\x\in D}}f(x)=A\iff\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \forall x\in D:\ 0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-A|<\varepsilon.$$

$a$ 无需属于 $D$。聚点条件保证趋近过程非空；若 $a$ 是孤立点，去心条件会使任意 $A$ 都形式上满足不等式，因此不能在此定义唯一的去心极限。

左极限只取 $x<a$，右极限只取 $x>a$。两侧都有可趋近的定义域点时，双侧有限极限存在当且仅当左右有限极限存在且相等。若左右阈值分别为 $\delta_-$、$\delta_+$，取二者最小值即得充分性；必要性由限制趋近方向得到。

Heine 序列判据

在上述聚点条件下，$\lim_{x\to a,\,x\in D}f(x)=A$ 当且仅当对每个满足 $x_n\in D\setminus\{a\}$、$x_n\to a$ 的数列，都有 $f(x_n)\to A$。

正向：给定 $\varepsilon$，先由函数极限取 $\delta$，再由 $x_n\to a$ 取 $N$，组合两个定义即可。反向：若函数极限不为 $A$，存在固定 $\varepsilon_0>0$，对每个 $n$ 都可选取 $x_n\in D$，使

$$0<|x_n-a|<1/n,\qquad |f(x_n)-A|\ge\varepsilon_0.$$

这构成一列趋于 $a$、但函数值不趋于 $A$ 的反例。

因此找两条趋近数列可用于否定极限；仅检验有限条数列不能证明极限存在。例如对 $f(x)=\sin(1/x)$，取

$$x_n=\frac1{\pi/2+2\pi n},\qquad y_n=\frac1{3\pi/2+2\pi n},$$

两列都趋于 $0$，而函数值恒为 $1$ 和 $-1$，所以零点处无极限。

极限与点值的配合

令 $h(x)=\sin x/x$（$x\ne0$），另设 $h(0)=c$。由第一个重要极限，无论 $c$ 如何选，$\lim_{x\to0}h(x)=1$；但连续性要求 $c=1$。这正是可去间断点的补值方法。