巴拿赫空间的定义

赋范空间中有了长度，但若极限运算会逃出空间，分析工具仍然失灵。完备的赋范空间——巴拿赫空间——保证极限、级数、不动点迭代都在空间内部完成，是泛函分析的"标准舞台"。

巴拿赫空间

完备的赋范空间称为巴拿赫空间，即以范数诱导的度量完备的赋范空间 $(X,\|\cdot\|)$。

例子

• $\mathbb{R}^n$（任意范数）、$C[a,b]$（一致范数）、$\ell^p$、$L^p$（$1\le p\le\infty$）
• 详见巴拿赫空间的例子与有限维赋范空间

性质

• 巴拿赫空间的闭子空间仍为巴拿赫空间
• 有限维赋范空间必完备
• 绝对收敛级数收敛：$\sum_n\|x_n\|<\infty$ 蕴含 $\sum_n x_n$ 收敛

后续

巴拿赫空间上的三大基本定理——开映射定理（含闭图像定理）、一致有界原理（Banach–Steinhaus）与 Hahn–Banach 定理——是对偶空间、弱拓扑与紧算子各章的支柱。