开映射定理

有界线性算子把单位球映到有界集，但"像"是否保持开集结构？开映射定理断言：在巴拿赫空间之间，满射的有界线性算子自动把开集映成开集——完备性把"稠密"提升为"真正的开"。它是证明逆算子连续的核心工具。前置依赖：巴拿赫空间的定义、有界线性算子的定义（证明与一致有界原理同用 Baire 纲）。

开映射定理

设 $X,Y$ 为巴拿赫空间，$T:X\to Y$ 为有界线性算子且满射。则 $T$ 是开映射：对任意开集 $U\subset X$，$T(U)$ 在 $Y$ 中开。
等价地，存在 $\delta>0$ 使 $B_Y(0,\delta)\subset T\bigl(B_X(0,1)\bigr)$。

证明思想（Baire 纲）

1. 满射给出 $Y=\bigcup_{n\ge1}\overline{T(nB_X)}$；由 Baire 纲定理，某个 $\overline{T(nB_X)}$ 有非空内部。利用 $T(B_X)$ 的对称性与凸性得 $B(0,r)\subset\overline{T(B_X)}$（可吸收）。
2. 把"闭包中的球"改进为"像中的球"：对 $y\in B(0,r/2)$，递归选取 $x_k$ 使 $\|x_k\|<2^{-k}$ 且 $\|y-T(x_1+\cdots+x_k)\|<r/2^{k+1}$；由 $X$ 完备，$x=\sum_{k}x_k$ 收敛且 $Tx=y$，故 $B(0,r/2)\subset T(B_X)$。
3. 平移与伸缩即得任意开集的原像结构：$T$ 为开映射。

推论

• 有界逆定理：$T$ 双射 $\Rightarrow T^{-1}$ 有界
• 商空间同构：$T$ 满射时 $X/\ker T\cong Y$（拓扑同构，见有界逆定理）
• $T$ 有界线性、单射且值域闭 $\Rightarrow T^{-1}$ 在值域上有界

例子

• 微分算子 $\dfrac{d}{dx}:C^1[0,1]\to C[0,1]$（$C^1$ 取 $C^1$ 范数）有界且满射（微积分基本定理给出原函数），故为开映射
• $\ell^1$ 上 $T(x_n)=(x_n/n)$：有界、单射，但值域不闭且非满射，$T^{-1}$ 在值域上无界——说明"满射"与"完备性"不可省
• 积分算子 $(Kf)(x)=\int_0^x f(t)\,dt$（$C[0,1]\to C[0,1]$）单射有界，但值域 $C^1_0$ 在 $C[0,1]$ 中不闭（$|x|$ 是光滑函数的一致极限而非 $C^1$），故 $K$ 非满射（见紧算子的例子）

后续

开映射定理与闭图像定理、有界逆定理、一致有界原理、Hahn-Banach定理并称泛函分析基本定理；它保证谱理论中"可逆"即"$\lambda I-T$ 有有界逆"的等价性（见算子代数），也是 PDE 适定性与反问题理论中解算子连续性的依据。