赋范空间的定义

研究无穷维空间时，"收敛"不能再依赖坐标而要靠距离刻画。范数给向量空间装上度量，得到的赋范空间就是泛函分析最基本的工作环境。

赋范空间

带有范数 $\|\cdot\|$ 的向量空间 $(V,\|\cdot\|)$ 称为赋范空间（赋范线性空间）。范数诱导度量 $d(x,y)=\|x-y\|$ 与拓扑，在此拓扑下可定义收敛与连续。

例子

• $(\mathbb{R}^n,\|\cdot\|_p)$、$(C[a,b],\|\cdot\|_\infty)$、$(\ell^p,\|\cdot\|_p)$
• 内积空间都通过 $x\mapsto\sqrt{\langle x,x\rangle}$ 成为赋范空间

性质

• 范数连续，加法与数乘关于范数拓扑连续
• 收敛等价于范数收敛：$x_n\to x\iff\|x_n-x\|\to 0$

后续

若赋范空间按诱导度量完备，则称巴拿赫空间；不完备的赋范空间可完备化得到巴拿赫空间。