完备性

实数系最重要的分析性质是"柯西列必收敛"。泛函分析要求这种性质在函数空间中依然成立——否则极限运算会"跑出"空间，级数求和、积分与极限交换等基本操作都无法进行。这一性质就是完备性。

完备性

度量空间 $(X,d)$ 中，序列 $\{x_n\}$ 称为柯西列，若 $\forall\varepsilon>0,\ \exists N,\ \forall m,n>N:\ d(x_m,x_n)<\varepsilon$。若每个柯西列都在 $X$ 中收敛，则称 $X$ 是完备的。完备的赋范空间称为巴拿赫空间。

性质

• 完备空间的闭子空间仍完备
• 不完备空间的完备化：每个度量空间都存在完备化（柯西列等价类构成），且等距同构意义下唯一
• $\mathbb{R}$ 完备而 $\mathbb{Q}$ 不完备；$(C[0,1],\|\cdot\|_\infty)$ 完备而 $(C[0,1],\|\cdot\|_1)$ 不完备

后续

完备性等价于"绝对收敛级数收敛"：$\sum_n\|x_n\|<\infty$ 蕴含 $\sum_n x_n$ 收敛。这是不动点定理、算子级数与谱理论的基础。