有限维赋范空间

泛函分析区别于线性代数之处在于无穷维，而理解无穷维的出发点恰是"有限维有何特殊"。有限维赋范空间的一系列漂亮性质构成对比无穷维的基准。

有限维赋范空间的基本事实

• 范数等价：有限维向量空间上任意两个范数等价，即存在 $c_1,c_2>0$ 使 $c_1\|x\|_1\le\|x\|_2\le c_2\|x\|_1$（由单位球面 $S^{n-1}$ 紧性与范数连续可得）。
• 完备：有限维赋范空间都是巴拿赫空间（范数等价于欧氏范数，而 $\mathbb{R}^n$ 完备）。
• 单位球紧：赋范空间的闭单位球紧当且仅当空间是有限维的（Riesz 引理：无穷维空间单位球面上存在两两距离 $\ge 1$ 的序列，故不列紧）。

推论

• 有限维赋范空间的子空间都是闭的
• 定义在有限维赋范空间上的线性映射必连续（有界）

后续

Riesz 引理揭示了无穷维空间的本质：闭单位球不再紧。这正是后续章节引入弱拓扑与紧算子的动机。