一致有界原理

一族算子若在每个点上有界，整体（按算子范数）是否有界？有限维中平凡成立，无穷维则需要定义域完备：Banach–Steinhaus 定理（共鸣定理）断言逐点有界自动蕴含一致有界。它常被用来证明某种收敛"不可能"，如发散 Fourier 级数的存在。

一致有界原理

设 $X$ 为巴拿赫空间，$Y$ 为赋范空间，$\{T_\alpha\}\subset B(X,Y)$。若对每个 $x\in X$，

$$\sup_\alpha\|T_\alpha x\|<\infty$$

则 $\sup_\alpha\|T_\alpha\|<\infty$。

证明思想

令 $F=\bigcap_\alpha\{x:\|T_\alpha x\|\le1\}$，$F$ 闭且 $X=\bigcup_{n\ge1}nF$。由 Baire 纲定理，存在 $x_0$ 与 $r>0$ 使 $B(x_0,r)\subset nF$，于是对 $\|h\|<r$ 有

$$\|T_\alpha h\|\le\|T_\alpha(x_0+h)\|+\|T_\alpha x_0\|\le2n$$

故 $\|T_\alpha\|\le2n/r$，即 $\sup_\alpha\|T_\alpha\|<\infty$。

推论

• 若 $T_n$ 逐点收敛且 $\sup_n\|T_nx\|<\infty$（强收敛），则极限算子 $T\in B(X,Y)$
• 弱收敛序列必（范数）有界：把 $x_n$ 视为 $X^{**}$ 中元素，对每个 $\varphi\in X^*$ 有 $\sup_n|\varphi(x_n)|<\infty$

例子

• Fourier 部分和算子 $S_N$（连续周期函数空间 $C(\mathbb{T})$）满足 $\|S_N\|\sim\frac{4}{\pi^2}\ln N\to\infty$，故存在连续函数的 Fourier 级数在某点发散（du Bois-Reymond 反例）
• 数值分析中插值算子范数的无界增长解释了 Runge 现象等不收敛现象

后续

与开映射定理、闭图像定理并称泛函分析三大原理，是有界线性算子空间、弱拓扑与弱*拓扑（Alaoglu 定理）的基础工具。