Sobolev空间的基本性质

泛函分析工具箱（完备性、对偶、紧性）能否用在 $W^{k,p}$ 上，取决于它是否是好的 Banach 空间。答案是肯定的：$W^{k,p}$ 是完备、可分（$p<\infty$）、自反（$1<p<\infty$）的，这正是变分法与不动点方法的前提。

基本性质

设 $1\le p\le\infty$，$k\ge0$，$\Omega\subset\mathbb R^n$ 开。

1. $W^{k,p}(\Omega)$ 是 Banach 空间（完备）
2. $1\le p<\infty$ 时 $W^{k,p}$ 可分
3. $1<p<\infty$ 时 $W^{k,p}$ 自反，且 $W^{k,p}_0$ 亦然
4. $H^k=W^{k,2}$ 是希尔伯特空间（内积见Sobolev空间的定义）

完备性证明要点

• Cauchy 列 $\{u_m\}$ 在 $W^{k,p}$ 中收敛 $\Rightarrow$ 对每个 $|\alpha|\le k$，$\{\partial^\alpha u_m\}$ 在 $L^p$ 中收敛（$L^p$ 完备，见Lp空间的定义）
• 极限 $u=\lim u_m$、$v_\alpha=\lim\partial^\alpha u_m$ 满足弱导数定义：对测试函数 $\varphi$ 取极限交换积分与极限（用控制收敛定理）
• 故 $v_\alpha=\partial^\alpha u$，收敛性成立

嵌入与稠密

• $C_c^\infty(\mathbb R^n)$ 在 $W^{k,p}(\mathbb R^n)$ 中稠密（磨光算子的全局结论）
• 对一般 $\Omega$，Meyers–Serrin 定理：$W^{k,p}(\Omega)\cap C^\infty(\Omega)$ 在 $W^{k,p}(\Omega)$ 中稠密；若 $\Omega$ 有足够正则边界，$C^\infty(\overline\Omega)$ 也稠密
• $W^{k,p}_0(\Omega)$ 定义为 $C_c^\infty(\Omega)$ 在 $W^{k,p}$ 范数下的闭包，是Poincaré不等式与弱解的自然空间

后续

自反性保证有界序列有弱收敛子列（Eberlein–Šmulian），这是变分法直接方法的关键；结合Rellich–Kondrachov紧嵌入可在 $L^q$ 中得到强收敛，见Sobolev嵌入定理。