巴拿赫代数的单位化

许多重要例子（如 $L^1(\mathbb{R})$、$C_0(X)$ 非紧情形）没有单位元，而谱、可逆性等核心概念都以单位元为前提。单位化通过"形式地加入单位元"，把无单位元的代数嵌入一个含单位元的巴拿赫代数，从而统一处理。前置依赖：巴拿赫代数的定义、巴拿赫空间的定义。

单位化

设 $A$ 为无单位元的巴拿赫代数。令 $\widetilde{A}=A\times\mathbb{C}$（记为 $a+\lambda e$），定义乘法

$$(a+\lambda e)(b+\mu e)=ab+\lambda b+\mu a+\lambda\mu e,$$

范数 $\lVert a+\lambda e\rVert=\lVert a\rVert+|\lambda|$，则 $\widetilde{A}$ 是含单位元 $e=(0,1)$ 的巴拿赫代数，$A$ 通过 $a\mapsto a+0\cdot e$ 等距嵌入为 $\widetilde{A}$ 的闭理想。

性质

• 嵌入是等距的：$\lVert a\rVert$ 不变，且 $A$ 是 $\widetilde{A}$ 中余维数为 $1$ 的闭理想
• 谱在单位化下兼容：对 $a\in A$，$\sigma_{\widetilde{A}}(a)=\sigma_A(a)\cup\{0\}$，其中 $\sigma_A(a)=\{\lambda\in\mathbb{C}:\lambda e-a$ 在 $A$ 中不可逆$\}$；由于 $A$ 无单位元，$0$ 恒属于 $\sigma_A(a)$
• 单位化是"最小"的：任何把 $A$ 作为闭理想嵌入的含单位元代数都包含 $\widetilde{A}$ 作为子代数

例子

• $L^1(\mathbb{R})$ 的单位化可看成在卷积代数上形式加入 Dirac $\delta$：$f+\lambda\delta$，$\delta*f=f$
• $c_0$（趋于零的数列）的单位化是收敛数列空间 $c$

后续

单位化使谱（巴拿赫代数）、谱半径公式与Gelfand表示能覆盖无单位元情形；$C_0(X)$ 的单位化就是 $C(X^+)$（一点紧化）。这是把函数代数谱理论推广到局部紧空间的关键一步。