希尔伯特空间的定义

内积空间有了角度与正交，但若极限会逃出空间，展开与逼近仍无法进行。完备的内积空间——希尔伯特空间——同时拥有几何结构与分析完备性，是量子力学、Fourier 分析与算子理论的标准舞台。

希尔伯特空间

完备的内积空间称为希尔伯特空间，即按内积诱导范数构成的度量完备的内积空间。完备的赋范空间即巴拿赫空间，故希尔伯特空间是带内积结构的巴拿赫空间。

例子

• $\mathbb{R}^n$、$\mathbb{C}^n$（标准内积）
• $\ell^2$（平方可和序列）、$L^2(\mu)$（平方可积函数），见L2空间
• 闭子空间仍是希尔伯特空间；$(C[0,1],\langle f,g\rangle=\int_0^1 f\,\overline{g}\,dt)$ 不完备，不是希尔伯特空间

性质

• 希尔伯特空间的对偶是它自身，见Riesz表示定理
• 可分希尔伯特空间与 $\ell^2$（或 $\mathbb{C}^n$）等距同构，见可分希尔伯特空间
• 线性代数中的希尔伯特空间是同一概念的有限维/综述视角，侧重量子力学与矩阵算子

后续

希尔伯特空间上的伴随算子、自伴算子谱理论以及量子力学的态空间描述，都以完备内积为前提。