向量空间

泛函分析中几乎所有研究对象（函数、序列、算子）都生活在"可以相加、可以数乘"的集合中，这种结构被抽象为向量空间——它是赋范空间、内积空间与希尔伯特空间的共同底层。

向量空间的定义

设 $V$ 是非空集合，$F$ 是域（通常 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$）。若 $V$ 上定义了加法 $+$ 与数乘 $\cdot$，满足：加法交换律、结合律、存在零元 $0$、每个元素有负元，且数乘满足结合律、两条分配律、$1\cdot v=v$，则称 $V$ 为 $F$ 上的向量空间（线性空间）。

例子

• $\mathbb{R}^n$、$\mathbb{C}^n$ 按逐点运算构成向量空间
• 区间 $[a,b]$ 上的连续函数全体 $C[a,b]$（逐点加减与数乘）
• 平方可和序列空间 $\ell^2=\{(x_n):\sum_n |x_n|^2<\infty\}$

性质

• 子空间：对加法和数乘封闭的非空子集
• 基与维数：线性无关组、基、维数；有限维与无穷维之分是泛函分析的核心分界

后续

加上范数得到赋范空间，加上内积得到内积空间；保持向量空间结构的线性映射是后续有界线性算子与对偶理论的雏形。