自反空间

典范嵌入 $J:X\to X^{**}$ 是否把 $X$ 映满整个二次对偶，刻画了一类性质极好的空间：自反空间。这类空间里单位球弱紧、有界序列可提取弱收敛子列，变分法与方程弱解理论大量依赖它。前置依赖：典范嵌入、巴拿赫空间的定义。

自反空间

巴拿赫空间 $X$ 称为自反的，若典范嵌入 $J:X\to X^{**}$ 是满射（从而等距同构 $X\cong X^{**}$）。

例子

• 有限维空间、希尔伯特空间（Riesz表示定理）均自反
• $\ell^p$、$L^p$（$1<p<\infty$）自反（$(\ell^p)^{**}\cong\ell^p$）
• $\ell^1$、$L^1$、$c_0$、$C[a,b]$ 不自反

性质

• $X$ 自反 $\iff$ $X^*$ 自反；$X$ 的闭子空间自反
• Eberlein–Šmulian：$X$ 自反 $\iff$ $X$ 的单位球在弱拓扑下（弱）紧 $\iff$ 每个有界序列有弱收敛子列
• $X$ 自反时 $X$ 的单位球在弱拓扑下紧（与 Alaoglu 定理互补：$X^{**}$ 单位球在弱*拓扑下紧）
• 自反空间中的有界序列必有弱收敛子列（变分法直接法的关键）

后续

自反性是变分法（能量泛函极小元存在性）、偏微分方程弱解与最佳逼近理论的常用假设；不自反空间（如 $L^1$）需借助弱*紧性（Alaoglu定理）补救。