有界线性算子空间

把两个赋范空间之间的所有有界线性算子收集起来，赋以算子范数，就得到新的赋范空间 $B(X,Y)$。它的完备性来自值域的完备性——这一事实使 $B(X,Y)$ 成为泛函分析中最常用的基本构件。

有界线性算子空间

记 $B(X,Y)=\{T:X\to Y:T\text{ 有界线性}\}$，按逐点加法与数乘、算子范数构成赋范空间。若 $Y$ 是巴拿赫空间，则 $B(X,Y)$ 也是巴拿赫空间。

性质

• 完备性：Cauchy 列 $\{T_n\}$ 逐点收敛于 $Tx:=\lim_n T_nx$（$Y$ 完备保证极限存在），再验证 $T$ 线性且有界
• 复合映射 $B(Y,Z)\times B(X,Y)\to B(X,Z)$ 是连续双线性映射（$\|ST\|\le\|S\|\,\|T\|$）
• 特例：$X^*=B(X,\mathbb{K})$ 即对偶空间；$B(X)=B(X,X)$ 是含单位元的巴拿赫代数

例子

• $B(\mathbb{K}^n)\cong M_n(\mathbb{K})$（谱范数）
• $\{M_g:g\in C[0,1]\}\subset B(C[0,1])$ 是闭子空间（等距同构于 $C[0,1]$）

后续

$B(X,Y)$ 上按算子范数的收敛称为一致收敛，另有更强的强算子收敛与弱算子收敛（见弱拓扑章）；$B(X)$ 的代数结构支撑谱理论与 Gelfand 表示。