范数（泛函分析）

有限维空间中向量的"长度"在无穷维函数空间里需要重新定义：函数如何度量大小？答案是把线性代数中的模长概念公理化并推广到函数与序列上，从而为收敛、连续与逼近提供统一尺度。

范数

设 $V$ 是数域 $F$ 上的向量空间，映射 $\|\cdot\|:V\to\mathbb{R}_{\ge 0}$ 满足

1. 正定性：$\|x\|\ge 0$，且 $\|x\|=0\iff x=0$；
2. 齐次性：$\|\alpha x\|=|\alpha|\,\|x\|$，$\forall \alpha\in F$；
3. 三角不等式：$\|x+y\|\le\|x\|+\|y\|$。
   则称 $\|\cdot\|$ 为 $V$ 上的范数。

例子

• $\mathbb{R}^n$：$\|x\|_p=(\sum_{i=1}^n |x_i|^p)^{1/p}$（$1\le p<\infty$），$\|x\|_\infty=\max_i |x_i|$
• $C[a,b]$ 一致范数：$\|f\|_\infty=\max_{t\in[a,b]}|f(t)|$
• 序列空间 $\ell^p$ 与函数空间 $L^p$ 的 $p$-范数（见Lp范数）

性质

• 范数诱导度量 $d(x,y)=\|x-y\|$，进而诱导拓扑
• 范数的连续性（反向三角不等式）：$|\|x\|-\|y\||\le\|x-y\|$

后续

带范数的向量空间即赋范空间；按诱导度量完备者称为巴拿赫空间，是泛函分析的基本舞台。