极限

一族对象常带着"相容性条件"（如相容的选择、嵌套的子空间）。极限把它压缩成一个最优对象：包含全部相容信息，且任何其他候选都唯一地映射进去——这是范畴论"泛性质"的样板。

需先掌握锥与余锥（锥的形态）与函子。

定义

设 $D:J\to\mathcal{C}$ 为小图。$D$ 的极限（limit）是 $D$ 的一个锥 $(L,(\pi_i))$，它关于 $D$ 的锥范畴是终对象：对任意锥 $(X,(f_i))$ 存在唯一态射 $h:X\to L$ 使 $\pi_i\circ h=f_i$ 对所有 $i\in J$ 成立。记作 $L=\lim D$（逆极限情形也记 $\varprojlim D$）。

性质

• 极限若存在则唯一到同构（终对象唯一性），故记 $\lim D$ 时不强调选择
• 泛性质可写成集合的自然同构：$\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,\lim D)\cong$ 锥$(X,D)$——极限表示"锥"函子
• 极限与极限交换：对 $D:I\times J\to\mathcal{C}$，$\lim_i\lim_j D(i,j)\cong\lim_j\lim_i D(i,j)$
• 右伴随保持极限（见伴随函子与极限）；表示函子保持极限

例子

• 空图的极限 = 终对象
• 离散图（无态射）的极限 = 乘积
• 平行态射 $f,g:A\rightrightarrows B$ 的极限 = 等化子
• 在 $\mathbf{Set}$ 中，$\lim D=\{(x_i)\in\prod_i D(i):D(u)(x_i)=x_j,\ \forall u:i\to j\}$，即满足相容条件的所有选择

应用

逆极限 $\varprojlim$（如 $\mathbb{Z}_p=\varprojlim_n\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$）与完备化是代数基本构造；在完备范畴中所有小图的极限都存在，极限语言成为代数几何中层与茎的统一工具。