滤过余极限

直极限（滤过余极限）把"一族不断扩张的对象"合成为一个统一对象——如把有限生成子模并起来、把函数在一点附近的行为取成茎。它与有限极限交换的性质使其在代数几何与代数拓扑中不可或缺。

需先掌握余极限（定义）与极限（对偶的有限构造）。

定义

小范畴 $J$ 称为滤过（filtered）的，若：① 对任意 $i,j$ 存在 $k$ 与态射 $i\to k$、$j\to k$；② 对任意平行态射 $u,v:i\rightrightarrows j$ 存在 $w:j\to k$ 使 $w\circ u=w\circ v$。定义在滤过范畴上的余极限称为滤过余极限；定义在 $J^{\mathrm{op}}$ 上的极限（$J$ 滤过）称为余滤过极限。

性质

• 有向偏序集（任意两元有上界）上的直极限 $\varinjlim A_i$ 是滤过余极限的特例
• 与有限极限交换：在 $\mathbf{Set}$ 及代数结构范畴中，对滤过的 $J$ 与 $D:J\times I\to\mathbf{Set}$（$I$ 有限）

$$\varinjlim_j\lim_i D(j,i)\cong\lim_i\varinjlim_j D(j,i)$$

• 在模范畴中滤过余极限保持正合性（与核、像交换）

例子

• 模的直极限：$\varinjlim M_i$（$M_i\subseteq M_{i+1}$）给出"并集"式构造；$(\varinjlim M_i)\otimes N\cong\varinjlim(M_i\otimes N)$
• 茎：层 $\mathcal{F}$ 在 $x$ 点的茎 $\mathcal{F}_x=\varinjlim_{x\in U}\mathcal{F}(U)$ 是滤过余极限（开邻域按反包含序）
• 对偶的逆极限：$\mathbb{Z}_p=\varprojlim_n\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$、profinite 群都是余滤过极限

应用

代数几何中茎与局部化、表示论中模的直极限、同调代数中滤过余极限的正合性，都以滤过余极限为语言；它是"局部信息拼成全局对象"的范畴论编码。