锥与余锥

一族对象连同它们之间的相容态射如何"整体地"打包？锥与余锥是泛性质构造的原始素材：把"一个对象看这个图的方式"记录成以它为顶点的相容三角，极限与余极限就是这些打包里最泛的两个。

需先掌握范畴的定义（对象、态射、复合）与函子（把图整体送到另一个范畴）。

定义

设 $J$ 为小范畴，$D:J\to\mathcal{C}$ 为函子（把它想成"图的形状"）。$D$ 的一个锥（cone）由对象 $X\in\mathcal{C}$ 与一族态射 $(f_i:X\to D(i))_{i\in J}$ 组成，使得对 $J$ 中每个态射 $u:i\to j$ 有

$$D(u)\circ f_i=f_j$$

$X$ 称为锥的顶点。对偶地，余锥（cocone）由对象 $X$ 与态射 $(g_i:D(i)\to X)_{i\in J}$ 组成，满足 $g_j\circ D(u)=g_i$。

性质

• 锥之间可以比较：若 $\varphi:X\to Y$ 满足 $f'_i\circ\varphi=f_i$（$i\in J$），则它是锥的态射；$D$ 的所有锥构成一个范畴
• 对偶原则：$D$ 的余锥恰是 $D^{\mathrm{op}}$ 在 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ 中的锥
• 空图 $J=\varnothing$ 时，任何对象都恰是一个（余）锥

例子

• 在 $\mathbf{Set}$ 中看图 $\bullet\xrightarrow{f}\bullet$：任取 $X$ 与 $x:X\to a$，$f\circ x:X\to b$ 自动补全第二个分量——锥编码"顶点看这个图的方式"
• 图 $a\rightrightarrows b$（两个平行态射）的锥：$X$ 连同 $x:X\to a$ 使两个合成 $X\to b$ 相等，即 $x$ 落在 $f,g$ 的等化子里

应用

极限定义为锥范畴的终对象、余极限定义为余锥范畴的始对象；乘积与余积、等化子与余等化子、拉回与推出都是特殊形状图的（余）锥的泛对象。