层

函数可以局部定义再整体拼合，但"局部都成立"未必保证"整体成立"（如处处非零的平方根）。层精确刻画"可由局部相容数据唯一拼出全局对象"的结构，是代数几何、复分析与拓扑学中"局部-整体"关系的标准语言。

需先掌握函子（反变函子、Hom 函子）、极限（等化子）与滤过余极限（茎的构造）。

定义

设 $X$ 为拓扑空间，$\mathcal{O}(X)$ 为开集按包含关系构成的范畴。$X$ 上的预层（presheaf）是反变函子 $F:\mathcal{O}(X)^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$；$F(U)$ 的元素称为 $U$ 上的截面，包含 $V\subseteq U$ 给出限制映射 $\rho^U_V:F(U)\to F(V)$。预层 $F$ 是层，若对每个开集 $U$ 及开覆盖 $\{U_i\}$：

• 若 $s,t\in F(U)$ 且对所有 $i$ 有 $s|_{U_i}=t|_{U_i}$，则 $s=t$（唯一性）
• 若截面族 $s_i\in F(U_i)$ 满足 $s_i|_{U_i\cap U_j}=s_j|_{U_i\cap U_j}$，则存在 $s\in F(U)$ 使 $s|_{U_i}=s_i$（粘合）

性质

• 茎：$x\in X$ 处的茎 $F_x=\varinjlim_{x\in U}F(U)$ 是滤过余极限；层态射是同构 $\iff$ 在每点茎上诱导同构
• 层化：每个预层都有层化 $aF$（左伴随于包含函子 $\mathbf{Sh}(X)\hookrightarrow\mathbf{PSh}(X)$，见伴随函子与极限）
• 层范畴 $\mathbf{Sh}(X)$ 完备且余完备，是拓扑斯（见拓扑斯）：其中的极限与余极限逐点（开集上）计算
• 沿连续映射 $f:X\to Y$ 有直像 $f_*$（层 $\mathcal{F}\mapsto f_*\mathcal{F}$，$(f_*\mathcal{F})(V)=\mathcal{F}(f^{-1}V)$）与逆像 $f^{-1}$，且 $f^{-1}\dashv f_*$

例子

• 连续函数层：$F(U)=\{f:U\to\mathbb{R}\text{ 连续}\}$，限制为通常的限制——最典型的层
• 常层：$F(U)=A$（$A$ 为固定集合），限制为恒等；其茎处处是 $A$
• 可微流形上的光滑函数层、微分形式层 $E^k$（见--微分几何--的同源概念）；代数簇上的结构层 $\mathcal{O}_X$（见代数K理论中 $K_0$ 的几何来源）

应用

层是代数几何（结构层与凝聚层）、复分析（全纯函数芽）与拓扑学（局部系、上同调 $H^*(X;F)$）的基础工具；Grothendieck拓扑把"开覆盖"推广到任意范畴，使层论可用于算术几何；层范畴作为拓扑斯为集合论提供几何模型。