函子

范畴的定义把"对象 + 保持结构的态射"打包成一个整体；不同范畴之间同样有"保持结构"的对应——把对象映到对象、态射映到态射且不破坏复合，这样的对应就是函子。函子让"结构如何从一个数学分支翻译到另一个"有了精确语言（如群可以被忘掉运算只看成集合）。

需先掌握范畴的定义与范畴的例子（对象、态射、复合、恒等）。

定义

设 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ 为范畴。协变函子 $F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ 指派：每个对象 $A$ 对应对象 $F(A)$，每个态射 $f:A\to B$ 对应态射 $F(f):F(A)\to F(B)$，并且

• $F(\mathrm{id}_A)=\mathrm{id}_{F(A)}$（保持恒等）
• $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$（保持复合）

反变函子（contravariant functor）$F:\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\to\mathcal{D}$ 把 $f:A\to B$ 映为 $F(f):F(B)\to F(A)$，复合反向：$F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$。

性质

• 函子保持同构：$A\cong B\Rightarrow F(A)\cong F(B)$
• 函子的复合仍是函子且满足结合律，恒等函子 $\mathrm{id}_{\mathcal{C}}$ 是单位；小范畴与函子构成范畴 $\mathbf{Cat}$
• 函子的保真程度不同，见全忠实函子

例子

• 恒等函子 $\mathrm{id}_{\mathcal{C}}$：什么都不改
• 遗忘函子 $U:\mathbf{Grp}\to\mathbf{Set}$：把群送到底层集合、同态送到底层映射
• 自由函子 $\mathbf{Set}\to\mathbf{Grp}$：集合生成自由群（遗忘函子的左伴随）
• 幂集函子 $\mathcal{P}:\mathbf{Set}\to\mathbf{Set}$：$A\mapsto\mathcal{P}(A)$；$f:A\to B$ 可映为 $S\mapsto f(S)$（协变）或 $S\mapsto f^{-1}(S)$（反变）
• Hom 函子：$\mathrm{Hom}(A,-):\mathcal{C}\to\mathbf{Set}$ 把 $g:B\to B'$ 映为 $h\mapsto g\circ h$；$\mathrm{Hom}(-,B):\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ 把 $f:A'\to A$ 映为 $h\mapsto h\circ f$

应用

自然变换定义在函子之间，全忠实函子、范畴等价与米田引理都以函子为基本原料；"遗忘—自由"配对提示了后续的伴随函子概念。