乘积与余积

一族对象如何"并列地"放在一起？乘积保留全部数据（投影可恢复每个分量），余积则把它们不相交地拼合。二者是极限/余极限最常见的特例：离散图（只有对象、没有态射）的（余）极限。

需先掌握极限与余极限，以及始对象与终对象（空族情形）。

定义

对象族 $\{A_i\}_{i\in I}$ 的乘积（product）是离散图 $I$ 的极限：对象 $\prod_i A_i$ 与投影 $p_j:\prod_i A_i\to A_j$，使对任意 $X$ 与 $f_j:X\to A_j$（$j\in I$）存在唯一 $h:X\to\prod_i A_i$ 满足 $p_j\circ h=f_j$。对偶地，余积（coproduct）$\coprod_i A_i$ 带包含 $\iota_j:A_j\to\coprod_i A_i$：对任意 $g_j:A_j\to X$ 存在唯一 $h:\coprod_i A_i\to X$ 满足 $h\circ\iota_j=g_j$。二元情形记 $A\times B$ 与 $A\amalg B$。

性质

• 乘积与余积都在同构意义下唯一；有限族情形满足结合律与交换律
• 空乘积 = 终对象，空余积 = 始对象
• $\mathrm{Hom}(X,A\times B)\cong\mathrm{Hom}(X,A)\times\mathrm{Hom}(X,B)$；对余积有 $\mathrm{Hom}(A\amalg B,X)\cong\mathrm{Hom}(A,X)\times\mathrm{Hom}(B,X)$
• 右伴随保持乘积、左伴随保持余积（见伴随函子与极限）

例子

• $\mathbf{Set}$：$A\times B$ = 笛卡尔积（有序对），$A\amalg B$ = 不相交并
• $\mathbf{Grp}$：乘积 = 直积 $G\times H$；余积 = 自由积 $G\ast H$
• $\mathbf{Top}$：乘积 = 积拓扑，余积 = 不交并拓扑
• $\mathbf{Vect}_k$：有限个空间的乘积与余积都实现为直和 $V\oplus W$

应用

乘积与等化子一起给出完备性判据（见完备范畴）；自由积与直积的对偶在群论与代数拓扑中反复出现；函数空间与指数对象的泛性质由伴随函子与极限统一刻画。