始对象与终对象

"唯一态射"是范畴论最廉价的构造来源：很多泛对象（极限、余极限、乘积）本质上都是带额外结构的始/终对象。先掌握这两种最简泛对象，其余特例大多可归约到它们。

需先掌握范畴的定义（对象、态射、复合）。

定义

$\mathcal{C}$ 的对象 $0$ 若对每个对象 $A$ 恰有一个态射 $0\to A$，称为始对象（initial object）；对象 $1$ 若对每个对象 $A$ 恰有一个态射 $A\to 1$，称为终对象（terminal object）。既始又终的对象称为零对象（zero object）。

性质

• 始对象、终对象都在同构意义下唯一；两个始对象间的唯一态射是同构
• 空图的极限 = 终对象，空图的余极限 = 始对象
• $\mathrm{Hom}(1,A)$ 的元素称 $A$ 的全局元素（global element），把"元素"概念翻译回态射语言

例子

• $\mathbf{Set}$：$\varnothing$ 是始对象，$\{*\}$ 是终对象
• $\mathbf{Grp}$ 与 $\mathbf{R\text{-}Mod}$：平凡群 / 零模同时是始与终对象（零对象）
• $\mathbf{Top}$：空空间是始对象，单点空间是终对象
• 偏序集范畴：最小元是始对象，最大元是终对象

应用

极限定义为锥范畴的终对象、余极限定义为余锥范畴的始对象；空乘积约定为终对象、空余积约定为始对象；在切片范畴 $A/\mathcal{C}$ 中恒等态射 $\mathrm{id}_A$ 是始对象，这给出米田引理与可表函子"表示由泛元素确定"的雏形。