拉回与推出

几何与代数中常要"沿着公共对象取纤维"或"沿边界粘合"：拉回（纤维积）取满足相容条件的配对，推出把公共部分粘成一个新对象。二者是最常见的非平凡（余）极限，也是（余）等化子与（余）乘积的组合。

需先掌握等化子与余等化子、乘积与余积，以及极限/余极限。

定义

对 $f:A\to C$、$g:B\to C$，拉回（pullback，纤维积）是图 $A\xrightarrow{f}C\xleftarrow{g}B$ 的极限：对象 $A\times_C B$ 与态射 $p:A\times_C B\to A$、$q:A\times_C B\to B$，满足 $f\circ p=g\circ q$，且对任意 $X\xrightarrow{x}A$、$X\xrightarrow{y}B$ 使 $f\circ x=g\circ y$，存在唯一 $u:X\to A\times_C B$ 使 $p\circ u=x$、$q\circ u=y$。推出（pushout）$A\amalg_C B$ 是图 $A\xleftarrow{f}C\xrightarrow{g}B$ 的余极限。

性质

• 构造：$A\times_C B\cong\mathrm{eq}(f\circ\pi_1,\ g\circ\pi_2)$（$\pi_1,\pi_2:A\times B\to A,B$）；$A\amalg_C B\cong\mathrm{coeq}(f\circ\iota_1,\ g\circ\iota_2)$（$\iota_1,\iota_2:A,B\to A\amalg B$）
• 拉回保持单态射：若 $g$ 是单态射，则 $p$ 也是单态射；对偶地推出保持满态射
• 拉回可粘合：$A\times_B D\cong(A\times_B C)\times_C D$（其中 $D\to C\to B$）

例子

• $\mathbf{Set}$：$A\times_C B=\{(a,b)\in A\times B:f(a)=g(b)\}$（纤维积）
• $\mathbf{Top}$：推出 $X\amalg_Y Z$ = 贴空间（沿 $Y$ 在 $X$ 与 $Z$ 中的像粘合）
• $\mathbf{Grp}$：$G\ast_H K$（融合积）是 $G\leftarrow H\to K$ 的推出
• van Kampen 定理：在良好条件下 $\pi_1$ 把拓扑推出送到群范畴的推出（融合积）

应用

纤维积在代数几何（基变换）与覆盖空间理论中无处不在；拉回方块用于定义"在 $C$ 上的一致对象"；完备范畴中拉回/推出自动存在，成为几何构造的通用语言。