伴随函子与极限

"右伴随保持极限、左伴随保持余极限"是范畴论最常被引用的定理之一：它把遗忘函子保持直积、张量积与直和交换、$\mathrm{Hom}$ 保持极限等一大批独立事实统一起来。

需先掌握函子（含 Hom 函子）、极限与余极限。

定义

函子 $F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$、$G:\mathcal{D}\to\mathcal{C}$ 构成伴随 $F\dashv G$（$F$ 左伴随、$G$ 右伴随），若

$$\mathrm{Hom}_{\mathcal D}(F(X),Y)\cong\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,G(Y))$$

对所有 $X,Y$ 且对两个变元都自然成立。

性质

• 右伴随保持极限：$G(\lim D)\cong\lim(G\circ D)$，特别地保持乘积、等化子、拉回、逆极限
• 左伴随保持余极限：$F(\mathrm{colim}\,D)\cong\mathrm{colim}(F\circ D)$，特别地保持余积、余等化子、推出、直极限
• 逆命题不恒成立（保持极限未必有左伴随）；在完备范畴上满足解集条件时，伴随函子定理给出反向保证

例子

• 遗忘—自由：自由群函子 $F:\mathbf{Set}\to\mathbf{Grp}$ 左伴随于遗忘函子 $U$，故 $U$ 保持极限（$U(G\times H)\cong U(G)\times U(H)$），$F$ 保持余极限（$F(S\amalg T)\cong F(S)\ast F(T)$）
• Currying：在 $\mathbf{Set}$ 中 $X\times(-)\dashv(-)^X$，故 $(-)^X$ 保持极限、$X\times(-)$ 保持余极限；一般地 $\mathrm{Hom}(X,-)$ 保持极限
• 张量—Hom：$-\otimes N\dashv\mathrm{Hom}(N,-)$，故 $\otimes$ 保持余极限（与直和交换），$\mathrm{Hom}(N,-)$ 保持极限——"$\otimes$ 右正合"的范畴论证明

应用

极限与余极限的对偶通过伴随对联系起来；代数中"张量积与直和交换""Hom 保持乘积"等都是本定理的特例；完备范畴中的伴随函子定理保证右伴随的存在性。