余极限

把箭头全部反向就得到范畴论最重要的方法论——对偶。余极限是"把一族对象按图粘合起来"的最泛方式（如把区间端点粘成圆、把子空间并起来），与极限"选子集"互补。

需先掌握锥与余锥（余锥的形态）与极限（对偶的对象）。

定义

图 $D:J\to\mathcal{C}$ 的余极限（colimit）是 $D$ 的一个余锥 $(L,(\iota_i))$，它关于余锥范畴是始对象：对任意余锥 $(X,(g_i))$ 存在唯一态射 $h:L\to X$ 使 $h\circ\iota_i=g_i$（$i\in J$）。记作 $\mathrm{colim}\,D$（直极限情形也记 $\varinjlim D$）。

性质

• 余极限若存在则唯一到同构；$\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ 中的极限恰是 $\mathcal{C}$ 中的余极限（对偶原则）
• 在 $\mathbf{Set}$ 中，$\mathrm{colim}\,D$ = 不相交并 $\coprod_i D(i)$ 被图中关系生成的等价关系取商——对象被"粘合"
• 左伴随保持余极限（见伴随函子与极限）；$\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(\mathrm{colim}\,D,X)\cong$ 余锥$(D,X)$，与极限的表示式对偶

例子

• 空图的余极限 = 始对象
• 离散图的余极限 = 余积
• 平行态射 $f,g:A\rightrightarrows B$ 的余极限 = 余等化子 $B/{\sim}$（$\sim$ 由 $f(a)\sim g(a)$ 生成）
• $\mathbf{Top}$ 中把闭圆盘 $D^2$ 的边界粘成一点：$D^2/\partial D^2\cong S^2$（包含映射与常值映射的余等化子）

应用

滤过余极限（直极限）在代数中构造统一对象（张量积、局部化）；推出是拓扑中贴空间的语言；同调代数与导出范畴处处用余极限定义商与粘合。